Enrique Zuazua es uno de los grandes matemáticos españoles de las últimas décadas. En su extenso currículum, figuran importantes premios, entre ellos el Premio Nacional de Investigación en Matemáticas Rey Pastor en el año 2007. Para comenzar bien este año 2024 organizamos, el 9 de enero, la jornada ‘Modelización matemática: teoría y aplicaciones’, siendo Enrique el encargado de abrirla académicamente con la ponencia ‘Control, cibernética e inteligencia artificial’. Para captar la atención del público desde el primer instante, nos felicitó el año con la fórmula: 2024= 2³+3³+4³+ 5³+ 6³+7³+8³+9³.

Varios de los presentes habíamos recibido ya esta felicitación los primeros días del año. Lo que desconocíamos, como él nos contó, es que si le pides a Chat GPT la siguiente ayuda:

-Súmame los cubos de todos los números naturales desde 2 hasta 9.

Su respuesta es la siguiente:

- Claro, la suma de los cubos de todos los números naturales desde 2 hasta 9 es 2³+3³+4³+ 5³+ 6³+7³+8³+9³ = 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 = 2014

Por tanto, la suma de los cubos de los números naturales desde 2 hasta 9 es 2014.

Increíblemente, había calculado bien los cubos y se había equivocado en la suma. El autor de estas líneas comprobó que así es, a través de la versión gratuita Chat GPT 3.5, el día 11 de enero. La consecuencia estaba clara para cualquiera en la sala, no nos podemos fiar de los resultados que no podemos comprobar. La felicitación estaba bien, y lo que nos diga una máquina o un extraño no tiene validez matemática sin su correspondiente demostración rigurosa. Por supuesto, las fórmulas que a continuación encontrarán, las pueden comprobar ustedes.

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Hágalo usted mismo

2024 es un número que contiene en sus entrañas una bonita colección de propiedades matemáticas. Su descomposición en factores primos es 2024= 2³ x 11 x 23. Por tanto es múltiplo de 4 y no de 100 y tal y como nos recordaba mi compañero Víctor Manero en un artículo anterior de esta sección, es un año bisiesto. Además, como 2³ x 11 x 23= 44 x 46= (45-1)(45+1)= 45²-1. Así al año que viene, tendremos un año perfecto o, al menos, de cuadrado perfecto, 2025= 45².

Una fórmula muy conocida establece que la suma de los n primeros números naturales, es igual a n(n+1)/2. Como 11 x 23=(22 x 23)/2, se tiene que 2024= 8 x (1+2+3+…+21+22)= (1+2+3+…+9)²-1, y además, 

Pero aún se puede sacar algo más de las factorizaciones: 2024= 44 x 46= 44 x (44 +2)= (20+24)2+ 2(20+24), igualdad donde aparecen solamente 0, 2, y 4.

Un número combinatorio

Si aceptamos divisiones, podemos darnos cuenta de la siguiente propiedad:

Por tanto, 2024 es un número combinatorio. Recuerdo que el signo de exclamación ‘!’ se llama, en matemáticas, factorial y se calcula multiplicando el número que lo acompaña por todos los números naturales menores que él hasta el número 1, así 4!= 4 x 3 x 2 x 1= 24. 

Los números combinatorios cuentan cosas, por ejemplo, en nuestro caso, 2024 serían los diferentes helados de tres bolas que podríamos conseguir en una heladería que dispusiera de 24 sabores diferentes

Maravillosa terna pitagórica

Las ternas pitagóricas las forman tres números (a, b, c) que cumplen el celebérrimo teorema de Pitágoras para triángulos rectángulos, a²+ b²= c². Cualquier número de la forma 2pq se puede incluir en la terna pitagórica (2pq, p² - q², p² + q²). En nuestro caso, 2024 = 2 x 46 x 22 y por tanto (2024, 1632, 2600) es una maravillosa terna pitagórica.

Creemos (con bastante seguridad) que cualquier número se encuentra en las cifras decimales del omnipresente número Pi. A través de buscadores alojados en internet se puede localizar la posición de casi cualquier número en Pi. En concreto, el número 2024 aparece por primera vez a partir de la cifra 14.590 de Pi. Además, en los 200 primeros millones de dígitos de Pi, aparece 19.859 veces. Más sorprendente es que, con las primeras quince cifras de Pi, podamos recuperar el número 2024 de la siguiente forma: 2024 = 3+1 x 41 x 59 - (2+6 +5+3+5 x 89) + 7 x 9

Número de Harshad

2024 es un número de Harshad. Introducidos por el matemático recreativo indio Ramchandra Kaprekar, los números de Harshad son aquellos cuya suma de sus cifras es un divisor del propio número, así, 2+0+2+4= 8 y 8, como hemos visto, divide a 2024. Es curioso señalar que el término ‘harshad’ es la unión de dos palabras del sánscrito, ‘harsa’, que significa alegría o felicidad, y ‘da’, que significa ‘dar’, por lo que sería algo así como el número ‘que da, o proporciona, alegría’. Pero es más, la suma de los cuadrados de las cifras de 2024 es justamente 24, esto es, 2²+0²+2²+4²= 24, y si sumamos los cuadrados de todos los números pares desde 2 hasta 22, obtenemos de nuevo, 2024 =2² + 4² + 6² + 8² + 10² + 12² + 14² + 16² + 18² + 20² + 22². Simplemente impresionante.

Decidí comprobar esta última igualdad con nuestro nuevo amigo Chat GPT:

- Suma los cuadrados de los números pares desde 2 hasta 22.

Tras hacer correctamente los cuadrados, de nuevo se equivoca estrepitosamente a la hora de calcular la suma: 2584 es su resultado en el primer intento, 2644 en el segundo.

Finalmente, les deseamos que este año 2024 sea como el propio número 2024, de felicidad e increíblemente sorprendente.

Pedro Miana Departamento de Matemáticas, IUMA & Facultad de Ciencias, Universidad de Zaragoza

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