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Reportaje

Papiroflexia: las matemáticas del papel

Papiroflexia y origami son dos maneras de decir lo mismo. En nuestra mano tenemos una máquina de crear figuras de papel plegado, sin emplear tijeras ni pegamento como normas básicas; además, los más puristas solo permiten el uso de un único papel cuadrado. La clave está en saber cómo realizar los pliegues, estrechamente ligados a operaciones geométricas. Hasta el 2 de diciembre, la Escuela Museo de Origami de Zaragoza (EMOZ), situada en el Centro de Historias, muestra la exposición ‘Papiro-mates’, dedicada a la relación entre las matemáticas y la papiroflexia.

José Ángel Iranzo Sanz Actualizada 14/11/2018 a las 13:43
La exposición 'Papiro-mates' puede visitarse en la Escuela Museo de Origami de Zaragoza hasta el 2 de diciembreDaniel Marcos-Ayuntamiento de Zaragoza


Las matemáticas y la papiroflexia son dos disciplinas que conviven en simbiosis. Gracias a la papiroflexia se pueden realizar, con un material tan accesible como el papel, figuras que sirven para explicar conceptos matemáticos: desde pliegues simples para explicar proporciones y ángulos a otros más complejos para entender superficies tridimensionales como el paraboloide hiperbólico. Anudando simplemente una tira de papel, conseguimos hacer un pentágono y uniendo varias piezas de papel plegadas de manera idéntica podemos llegar a construir cualquiera de los cinco poliedros regulares. Desde el punto de vista didáctico, el proceso de plegado involucra y motiva al alumno, y favorece el desarrollo de habilidades como la precisión y la visión espacial. A su vez, una vez plegada la figura, el alumno puede manipularla y estudiar sus propiedades in situ.

Se pueden demostrar teoremas, como el de Pitágoras, realizando pliegues sobre un papel y también es posible resolver problemas matemáticos que de otra manera serían más difíciles o incluso imposibles. Un caso llamativo es el de la trisección del ángulo, o cómo dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás. Este es uno de los tres problemas clásicos de las matemáticas de la antigua Grecia que, junto a la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo, sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX, cuando se demostró que con regla y compás era imposible. Sin embargo, con papiroflexia sí es posible y, además, no hacen falta más de cuatro pliegues.

Algoritmos entre las manos

El papel de las matemáticas en la papiroflexia también es esencial. Para hacer un cuadrado de papel, con el que poder plegar a partir de un folio, se aplican matemáticas. El algoritmo que se utiliza para dividir un papel en cinco partes iguales se justifica gracias a las matemáticas. De hecho, la mayoría de los pliegues que se hacen para realizar una figura corresponden a operaciones geométricas básicas (mediatrices, bisectrices, etcétera). Sin embargo, el aporte de las matemáticas va más allá de ser solo una herramienta durante el proceso de plegado. También desempeñan una labor importante en la creación de figuras papel.

Cicatrices

El estudio del patrón de cicatrices que se observa al desplegar una figura ha permitido desarrollar nuevas técnicas de diseño en las últimas décadas. Sabiendo cuántas patas y antenas queremos que tenga un insecto, por ejemplo, y cómo deben estar distribuidas, podemos conocer cuál será el patrón de cicatrices necesario para plegar ese insecto. Para determinar dicho patrón hace falta resolver complejos problemas matemáticos, aunque los cálculos, afortunadamente, los realizan ordenadores gracias a programas informáticos como Tree Maker.

Doblar y hacer un corte

En 1922, el famoso escapista Harry Houdini publicó un libro con algunos trucos de magia relacionados con el origami. En uno de ellos plegaba varias veces un papel, le daba un tijeretazo y, al desplegarlo, aparecía una estrella de cinco puntas. Otros magos consiguieron mejorar este efecto: por ejemplo, Gerald M. Loe era capaz de obtener con un solo corte la silueta de cualquier letra del alfabeto.

En general, si realizamos varios dobleces en un papel, de manera que quede plano, y efectuamos un corte recto, al desplegarlo obtendremos varias figuras con los lados rectilíneos. Pero, ¿dónde está el límite?, ¿qué tipo de figuras se pueden obtener de esta manera? En 1999 el matemático canadiense Erik Demaine demostró, junto a su equipo, que cualquier figura era posible, tuviese la forma que tuviese, siempre que no incluyera curvas.

Cuando Erik demostró este resultado tenía solo 17 años, aunque su interés por la ciencia comenzó mucho antes. Con 6 años fundó junto a su padre una compañía de puzles y pasatiempos. Un año más tarde, ambos comenzaron a recorrer toda Norteamérica. De esta manera, su padre, que se dedicaba al soplado de vidrio, podía acudir a las distintas ferias de artesanía. Durante cinco años llevaron una vida nómada y Erik no fue a la escuela, pero aprendía de las enseñanzas de su padre o de forma autodidacta a partir de diversos manuales. Con 12 años entró en la universidad, ya que los conocimientos que había adquirido eran extraordinarios para su edad. Con 14 años se tituló y con 20 obtuvo el título de doctor en Matemáticas, convirtiéndose, con esa misma edad, en el profesor más joven del prestigioso Instituto Tecnológico de Massachusetts. Hoy en día es un matemático brillante especializado en geometría computacional, con cientos de publicaciones a sus espaldas.

¿Cuántos colores hacen falta?

Si desplegamos una pajarita, un barco o un dragón de papel, observaremos una maraña de pliegues y cicatrices. Es lo que en papiroflexia se conoce como patrón de cicatrices o CP (del inglés ‘crease pattern’). Y, aunque conocer el CP de una figura es sencillo –solo hay que desdoblarla–, plegar una figura a partir de su CP es una tarea apta únicamente para los plegadores más experimentados.

Patrón de cicatrices de la figura de cría de lagarto que aparece en la imagen de abajo. Riccardo Foschi

Una propiedad interesante es la que tiene que ver con el coloreado del CP de una figura plana (aquella que podemos meter entre las hojas de un libro cerrado). El objetivo es colorear un CP como si fuese un mapa político, donde las cicatrices son las fronteras y dos regiones vecinas no pueden estar pintadas del mismo color. Resulta que siempre lo podremos pintar con tan solo dos colores, por complicado que sea el CP. Para hacernos una idea del porqué, basta con pensar en que si tenemos la figura entre las hojas de un libro, podemos pintar de un color las regiones que miran a la portada y de otro las que miran a la contraportada. Nunca habrá dos regiones limítrofes del mismo color, ya que si comparten frontera significa que hay pliegue entre ellas que hace que miren en direcciones opuestas.

No obstante, colorear un mapa cualquiera no tiene por qué ser tan sencillo y pueden hacer falta más colores, pero, ¿cuántos se necesitan como mínimo? ¿3, 4, 5...? Muchos matemáticos trabajaron en ese problema durante más de un siglo. No es difícil encontrar mapas en los que con tres colores no basta, con cuatro normalmente se puede pintar un mapa sin dificultad, pero, ¿podría haber un mapa que necesitase mas de cuatro colores? En 1976 los matemáticos Kenneth Appel y Wolfgang Haken demostraron que con cuatro colores bastaba, para cualquier mapa. La demostración del teorema de los cuatro colores generó una gran controversia dentro del mundo académico. Requería hacer tantos cálculos que solo los podía hacer un ordenador, era prácticamente imposible hacerlos a mano, y en aquel entonces algunos matemáticos consideraban que no era riguroso fiarse del ordenador. Por esta razón, esta demostración supuso un hito en la historia de las matemáticas.

Un famoso fractal: la esponja de Menger

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite indefinidamente a diferentes escalas. La propia naturaleza cuenta con bellos ejemplos, como el brécol romanesco o las hojas de helecho. Realmente, son más frecuentes de lo que puede parecer. Como dijo Benoît Mandelbrot, matemático polaco que sentó las bases de la geometría fractal, "ni las nubes son esferas, ni las montañas son conos, ni las costas son circulares...", sino que detrás esconden un patrón fractal.

Esponja de Menger plegada por Sergio Antioquía. EMOZ

Uno de los fractales más conocidos es la esponja de Menger. Para construirla se parte de un cubo y se divide en 3 partes iguales en altura, anchura y profundidad, de manera que se obtienen 27 cubos más pequeños. Se elimina el cubo central y los 6 cubos que comparten alguna cara con él. Después se repite este proceso sobre los cubos restantes una y otra vez. En cada paso, la figura pierde volumen pero aumenta su superficie. De hecho, la esponja de Menger tiene volumen 0 y superficie infinita. En eso se parece a la esponja que tenemos en la ducha: aunque probablemente no parezca un cubo, sí que tendrá un volumen insignificante, una gran superficie y un patrón fractal.

En 1995 la matemática y papiroflecta estadounidense Jeannine Mosely se propuso hacer con papel una esponja de Menger de nivel 3, formada por 8.000 pequeños cubos. Para ello utilizó las tarjetas de visita de la empresa en la que trabajaba, ya que había cambiado de nombre recientemente y ya no les servían a sus trabajadores. Tras emplear 66.048 tarjetas de visita, nueve años de dedicación y la colaboración de cientos de personas, consiguió terminar la esponja de 68 kg de peso y 140 cm de longitud en cada lado. En 2014 se completó el proyecto colaborativo Mega Menger en el que, gracias al plegado de esponjas de distinto nivel alrededor del mundo, se logró formar virtualmente una esponja de nivel 4, con 160.000 cubos y más de un millón de tarjetas de visita.

José Ángel Iranzo Sanz Doctor en Matemáticas y Profesor en el Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. Comisario de la exposición ‘Papiro-mates’

 

 





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